激光雷达
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坐标系
直角坐标系 (Cartesian Coordinates)
- 坐标: $(x, y, z)$
- 特点: 三个相互垂直的坐标轴
球面坐标系 (Spherical Coordinates)
- 坐标: $(r, \theta, \phi)$
- 参数含义:
- $r$: 径向距离（到原点的距离）
- $\theta$: 极角（与z轴的夹角，范围 $[0, \pi]$）
- $\phi$: 方位角（在xy平面上与x轴的夹角，范围 $[0, 2\pi]$）
转换公式
球面坐标 → 直角坐标
\[\begin{cases} x = r \sin\theta \cos\phi \\ y = r \sin\theta \sin\phi \\ z = r \cos\theta \end{cases}\]直角坐标 → 球面坐标
\[\begin{cases} r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\ \theta = \arccos\left(\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\right) \\ \phi = \arctan2(y, x) \end{cases}\]注意事项
角度范围
- $r \geq 0$
- $0 \leq \theta \leq \pi$
- $0 \leq \phi < 2\pi$（或 $-\pi \leq \phi \leq \pi$）
特殊情况处理
- 当 $r = 0$ 时，$\theta$ 和 $\phi$ 未定义
- 当 $\theta = 0$ 或 $\theta = \pi$ 时（即点在z轴上），$\phi$ 未定义
- 使用
arctan2(y, x)而不是arctan(y/x)来正确处理象限
雅可比行列式
球面坐标到直角坐标的雅可比行列式为： \(J = r^2 \sin\theta\)
这在积分变换时非常重要： \(dV = dx\,dy\,dz = r^2 \sin\theta \, dr\,d\theta\,d\phi\)
转换示例
示例1: 球面坐标转直角坐标
给定球面坐标 $(r=2, \theta=\frac{\pi}{4}, \phi=\frac{\pi}{6})$：
x = 2 × sin(π/4) × cos(π/6) = 2 × (√2/2) × (√3/2) = √6/2
y = 2 × sin(π/4) × sin(π/6) = 2 × (√2/2) × (1/2) = √2/2
z = 2 × cos(π/4) = 2 × (√2/2) = √2
结果：$(x, y, z) = (\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2})$
示例2: 直角坐标转球面坐标
给定直角坐标 $(x=1, y=1, z=\sqrt{2})$：
r = √(1² + 1² + (√2)²) = √4 = 2
θ = arccos(√2/2) = π/4
φ = arctan2(1, 1) = π/4
结果：$(r, \theta, \phi) = (2, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$
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